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La influencia del uso de materiales en la comprensión de las matemáticas

Patrick W. Thompson 26-10-2007

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Resumen

Esta lectura informa y afirma el uso de materiales manipulables para la enseñanza de las matemáticas. Este artículo reflexiona ampliamente sobre la didáctica con manipulables, y da un repaso por los diversos cuestionamientos pedagógicos alrededor de estos procedimientos. Plantea que la relación entre objetos abstractos para aprender con objetos concretos para usar es una buena ayuda para el aula. Asimismo, potencia las facultades de los alumnos y alumnas, dándoles distintos puntos de vista desde los cuales pueden hacer interpretaciones válidas de su objeto de estudio. Finalmente, cuestiona el uso de distintas herramientas, donde se incluyen los manipulables, e invita a la verificación la metodología empleada para determinar si es la mejor en cada momento, con cada grupo de alumnos y alumnas.


La influencia del uso de materiales en la comprensión de las matemáticas.


Aprender sin pensar es trabajo perdido.
Confucio

Una experiencia no es una verdadera experiencia
hasta que no se reflexiona sobre ella.
John Dewey

Hoy en día existe la opinión común de que una enseñanza matemática efectiva en los grados elementales debe incorporar el uso de materiales manipulables. Los artículos publicados en esta revista nos exhortan a usar manipulables y los Professional Standards for Teaching Mathematics (NCTM1, 1991) incluyen un apartado sobre el uso de estos materiales. El uso de manipulables parece haber sido asumido incuestionablemente.

Mi intención con este artículo es reflexionar sobre el papel de los manipulables en la enseñanza para ayudar a la comprensión matemática; no luchar contra su uso, sino abogar por un uso más juicioso y reflexivo. Nuestra pregunta primordial debería ser siempre: «¿qué quiero que mis alumnos entiendan?». Demasiado a menudo esa pregunta es: «¿qué quiero que mis alumnos hagan?». Si tan solo podemos responder a la segunda pregunta, eso significa que no hemos dedicado tiempo suficiente a pensar qué queremos conseguir con un tema particular o con el uso de esos materiales.

Investigaciones sobre el uso de manipulables

El uso de manipulables ha sido siempre intuitivamente atractivo. Los editores de un libro sobre métodos educativos, publicado a principios de siglo, afirmaban:

«Los ejemplos concretos son mucho mejores para el alumno en esta etapa de su desarrollo ya que puede comprenderlos más fácilmente» (Beecher y Faxon, 1918, 47 como se cita en McKillip et al. 1978).

Su aparición se aceleró en los años sesenta, al menos en Estados Unidos, con la publicación de justificaciones teóricas para su uso por Zolton Dienes (1960) y Jerome Bruner (1961).

Gran número de estudios sobre la efectividad del uso de manipulables se han realizado desde las publicaciones de Dienes y Bruner, y los resultados han sido variados. Fennema (1972) se manifiesta a favor de su uso con alumnos de niveles elementales, no siendo beneficiosos en la misma forma para niveles superiores. Sin embargo, Suydam y Higgins (1977) informaron sobre un conjunto de consecuencias beneficiosas para todos los alumnos.

Alumnos de enseñanza primaria, de grados medios y superiores, observados por Labinowicz (1985) tuvieron considerables dificultades para ver el sentido de los bloques de base 10, aunque Fuson y Briars (1990) tuvieron un extraordinario éxito en el uso de los mismos materiales a la hora de enseñar los algoritmos de adición y substracción.

Thompson (1992) y Resnick y Omanson (1987) comunicaron que el uso de esos bloques tuvo escaso efecto en la comprensión y el uso de los algoritmos ya memorizados; mientras que Wearne y Hiebert (1988) informaron sobre un gran éxito en el uso de manipulables para ayudar a los alumnos a comprender las fracciones decimales y la numeración decimal [ver también Hiebert, Wearne y Taber (1991)].

Estas aparentes contradicciones se deben probablemente a aspectos de la enseñanza y del desempeño de los alumnos que esos estudios no tuvieron en cuenta. Evidentemente, el mero hecho de usar materiales no es garantía de éxito.

Debemos considerar la totalidad del ambiente educativo para entender el uso efectivo de esos materiales, especialmente la imagen que el profesor tiene sobre lo que intenta enseñar y las imágenes de los alumnos sobre las actividades que se les pide realizar.

Los conceptos matemáticos en los manipulables

Se piensa a menudo que el cubo de madera usado como unidad para explicar el sistema decimal está más «próximo» a los alumnos que si hacemos un dibujo de este mismo cubo. Cuando uno considera las características físicas de los objetos, esta afirmación parece ciertamente correcta. Pero para los alumnos que están construyendo sus conceptos, la «cercanía» de ese cubo no es mayor que la de su imagen pintada (Labinowicz, 1985). Para comprender que el cubo, ya sea de madera o pintado, representa un valor numeral de 1.000, los alumnos necesitan crearse una imagen del cubo que implique su relación con sus posibles partes (por ejemplo, puede estar formado por 10 cubos con un valor de 100 o por 1.000 cubos con un valor de 1). Si su imagen del cubo es un gran bloque llamado mil, entonces no hay ninguna diferencia significativa para el alumno entre el cubo o su dibujo. El hecho de que el cubo de madera sea algo concreto no aporta nada a su comprensión del sistema decimal.

Este comentario no quiere decir que nunca haya una diferencia significativa para los alumnos entre los dibujos y los objetos reales. Viene a significar que los materiales no llevan implícitos significados matemáticos para los alumnos. Puede existir una gran diferencia entre cómo los alumnos experimentan con materiales concretos y sus experiencias con dibujos o representaciones, pero esa diferencia está en cómo ambos son usados. Volveremos sobre este tema en el transcurso del artículo.

Intentar descubrir conceptos matemáticos en los manipulables puede ser un reto. El material puede ser concreto, pero la idea que se trata de mostrar a los alumnos no está en el material. Esa idea está en la forma en que el profesor entiende el material y sus acciones con él. Quizás dos ejemplos hagan más clara esta afirmación.

Una forma común de enseñar las fracciones es hacer que los alumnos consideren una colección de objetos, algunos de los cuales sean distintos del resto, como se muestra en la figura 1. Si un alumno tuviera una colección como ésa, sería ciertamente algo concreto para él. Pero, ¿qué verían en esa colección? ¿tres círculos de un total de cinco? En ese caso, verían una parte y el todo, pero no una fracción. ¿Tres quintos de uno? Quizás. Pero dependiendo de cómo piensen sobre los círculos y las colecciones, podrían ver también tres quintos de cinco, cinco tercios de uno, o cinco tercios de tres (ver figura 2).

Podrían ver también la figura 1 como una muestra de que:

ya que dentro de 1 hay una vez tres quintos, y otros dos tercios de otros tres quintos, o una prueba de que:
ya que dentro de cinco hay una vez tres y dos tercios de otros tres (ver figura 2). Por último, podrían ver en la figura 1 que
es decir, que cinco tercios de tres quintos de uno es uno.

Es un error pensar que un material o ilustración particular muestra por sí mismo, y de manera inequívoca, una idea. Las matemáticas, como la belleza, están en el ojo del observador y el ojo ve lo que la mente concibe.

Los profesores, a veces, entienden la discusión de la figura 1 y la figura 2 como una forma de decir que debemos tener cuidado de que los alumnos «vean» la interpretación correcta de los materiales, es decir, aquella que nosotros intentamos que se formen. De hecho, se trata de co contrario. El objetivo debería ser que los alumnos pudieran construir, en principio, todas las interpretaciones posibles.

El profesor debe ser consciente de las múltiples interpretaciones, para poder deducir cuál se están formando los alumnos. Sin esa consciencia, es fácil presumir que los alumnos ven lo que se trata de hacerles ver, y la comunicación entre profesor y alumnos puede romperse si éstos ven otra cosa distinta a lo que pensamos.

Es importante que los alumnos puedan crear múltiples interpretaciones de los materiales. Sus facultades se potencian cuando reconocen la multiplicidad de puntos de vista desde los cuales pueden hacer interpretaciones válidas, ya que entonces están alerta para escoger entre ellas la más apropiada a la situación actual.

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